Ostatnio: nigdy

Darmowe galerie dla serwisów aukcyjnych

Wychodzimy z tożsamości Eulera

e^{\pi i} = -1

Pierwiastkujemy obie strony

\sqrt{e^{\pi i}} = {e^{\frac{\pi}{2} i} = i

Podnosimy do potęgi i

(e^{\frac{\pi}{2} i})^{i} = e^{-\frac{\pi}{2}} = i^{i}


Albo inaczej

Ogólnie rzecz biorąc:

a^{b} = e^{b\log(a)}

Warto zauważyć, że każda liczba zespolona może być zapisana przy użyciu współrzędnych biegunowych jako:

z=re^{i\theta}

gdzie:

\Re(z)=r\cos(\theta)

\Im(z)=r\sin(\theta)

Jako, że sinus i cosinus są okresowe możemy napisać, że:

z=re^{i(\theta+2\pi n)} dla każdego n

Wtedy:

\log(z)=\log(re^{i(\theta+2\pi n)})=\log(r)+\log(e^{i(\theta+2\pi n)})=\log(r)+i(\theta+2\pi n)

Mamy:

i^{i}=e^{i\log(i)}

A jako że:

i=\cos(\frac{\pi}{2}+2\pi n)+i\sin(\frac{\pi}{2}+2\pi n)=e^{i(\frac{\pi}{2}+2\pi n)}

to:

\log(i)=i(\frac{\pi}{2}+2\pi n)

Wtedy:

i^{i}=e^{i\log(i)}=e^{i\cdot i(\frac{\pi}{2}+2\pi n)}=e^{-(\frac{\pi}{2}+2\pi n)}

Dla n = 0, mamy:

i^{i}=e^{-\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e^{\pi}}}


Albo jeszcze kurde inaczej

i^i = x

\ln (i^i) = \ln x

i \ln i = \ln x

\ln i = \frac { (\ln x)}{i}

i \frac{\pi}{2} = \frac {(\ln x)}{i} http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm

-\frac{\pi}{2} = \ln x

e^{-\frac{\pi}{2}} = x

i^i = e^{\frac{-\pi}{2}} \approx 0.2079

;-)

Komentarze

Dodaj komentarz

Dodajesz komentarz anonimowo. Zaloguj się.

Dodajesz komentarz anonimowo. Aby komentować pod własnym pseudonimem włącz profil publiczny w ustawieniach.

Autor:
Treść:

Aby przesłać formularz, musisz mieć włączony w przeglądarce Javascript. Jeżeli nie masz, przepisz wspak tekst 2m67zzw0qv:

Wykop

Korzystanie z serwisu oznacza akceptację Regulaminu. Copyright – 1999-2017 INTERIA.PL , wszystkie prawa zastrzeżone.