Ostatnio: 02.09.2017

Darmowe galerie dla serwisów aukcyjnych

Twierdzenia Gödla uważane są powszechnie za najważniejsze wyniki logiki współczesnej, sam Kurt Gödel bywa zaś określany jako najwybitniejszy logik od czasów Arystotelesa.

W 1931 roku wystąpił on z zaskakującym odkryciem, że prawdy matematycznej w pewnym sensie nie można w pełni sformalizować. Wykazał on, że w ogromnej rozmaitości systemów matematycznych – spełniających pewne bardzo rozsądne warunki – zawsze muszą istnieć zdania, których, choć są prawdziwe, nie można dowieść opierając się na aksjomatach tych systemów. Nie ma więc żadnego formalnego systemu aksjomatycznego – niezależnie od pomysłowości, z jaką został skonstruowany – który wystarczałby do przeprowadzenia dowodu wszystkich prawd matematycznych.

Pierwsze twierdzenie Gödla, o który mowa, stanowi inspirację dla rozważania szeregu problemów – od zagadnień związanych z problemem "czy umysł jest maszyną", po kwestię ograniczoności naszego poznania. Usiłowano je wykorzystać do wykazania istnienia boga i jego nieistnienia, poprawności religii i jej niepoprawności – liczba wypaczonych rozumowań prowadzonych z tym twierdzeniem w tle była tak duża, że ciężko zliczyć i wymienić je wszystkie.

Mając na uwadze powyższe ośmielmy się jednak zobrazować o czym mowa.

Najkrótsze wyjaśnienie pierwszego twierdzenia Gödla

Dysponujemy magiczną drukarką, która może zwracać zdania w pewnym rodzaju języka. Drukuje jednak tylko zdania, które są prawdziwe, nie drukuje natomiast fałszywych.

Przykładami zdań, które drukarka może (lub nie) wydrukować są poniższe:

P*x (które oznacza, że urządzenie wydrukuje X)

NP*x (które oznacza, że urządzenie nigdy nie wydrukuje x)

PR*x (które oznacza, że urządzenie wydrukuje xx)

NPR*x (które oznacza, że urządzenie nigdy nie wydrukuje xx)

Dla przykładu NPR*FOO oznacza, że urządzenie nigdy nie wydrukuje FOOFOO, co jest równoznaczne NP*FOOFOO.

Teraz rozważmy zdanie NPR*NPR*, które stwierdza, że drukarka nigdy nie wydrukuje NPR*NPR*.

Istnieją dwie możliwości: albo NPR*NPR* zostanie wydrukowane, albo nie.

Jeśli drukarka wydrukuje NPR*NPR*, to wydrukowała fałszywe zdanie. Jeśli natomiast nigdy nie wydrukuje zdania NPR*NPR*, to NPR*NPR* jest zdaniem prawdziwym, które – wbrew zasadom – nie zostało wydrukowane.

Tak więc albo drukarka czasami drukuje fałszywe zdania, albo istnieją zdania prawdziwe, które nigdy nie będą wydrukowane. Każde urządzenie, które drukuje jedynie zdania prawdziwe, nie poradzi sobie z wydrukowaniem niektórych prawd.

Twierdzenie Gödla a humanistyka

W ramach filozofii umysłu rozważano kwestie czy umysł może zostać wyjaśniony mechanistycznie. Pierwszą próbę wykorzystania odkryć Gödla do sformułowania tezy, iż umysł ludzki istotnie różni się od maszyny podjął John Randolph Lucas. Utrzymywał on, że umysł, co najmniej w zakresie matematyki, potrafi wykonywać operacje, których nie potrafi wykonywać maszyna – może dostrzec, że pewne formuły, choć niedowodliwe w systemie, są prawdziwe.

Innymi słowy, użył twierdzenia Gödla do pokazania pewnych ograniczeń maszyny, którym człowiek ma nie podlegać. W związku z tym maszyna nie jest w stanie wytworzyć tego, co potrafi wytworzyć umysł i w konsekwencji umysł nie może być maszyną.

Argument Lucasa obarczony jest wieloma wadami, ale w połączeniu z pewnymi dodatkowymi założeniami, może wzmocnić tezę o niemechanicznej naturze ludzkiego umysłu.

Filozofowie i kognitywiści, tacy jak m.in. Hilary Putnam i Alan Turing przyjmują koncepcję, zgodnie z którą umysł jest sprzecznym systemem formalnym i dlatego nie podpada pod ograniczenia stawiane w oparciu o twierdzenie Gödla.

Spotykany jest pogląd, że twierdzenie Gödla dowodzi istnienia zasadniczych barier poznawczych – przesądza o tym, że nigdy nie będziemy mogli uchwycić całej prawdy o świecie. Według niektórych ma dowodzić niemożności udzielenia naukowej odpowiedzi na pytania o charakterze egzystencjalnym, czy metafizycznym.

Próby zastosowania i interpretacji twierdzenia Gödla były podejmowane także w innych odległych od matematyki czy logiki matematycznej dziedzinach. Odnajdujemy je w socjologii kultury, językoznawstwie, kulturoznawstwie, prawie czy religii.

Nie wszędzie próby te mogły być udane, ponieważ zakres stosowalności twierdzeń Gödla jest ograniczony – dotyczą wszak własności pewnych systemów formalnych w logice matematycznej. Często jawią się one jako niewyczerpane źródło intelektualnych nadużyć.

Na podstawie: R. Smullyan, Jaki jest tytuł tej książki?, Warszawa 1993, s. 211-212; Umysł: system sprzeczny, ale nie trywialny; Can someone explain Gödel's incompleteness theorems in layman terms?; World's shortest explanation of Gödel's theorem; Twierdzenie Gödla i jego filozoficzne interpretacje; O nadużywaniu Twierdzenia Gödla w sporach filozoficznych; Twierdzenia Gödla a niemechaniczność umysłu; Twierdzenie Gödla a filozofia umysłu. W sprawie pewnej dwuznaczności argumentu Lucasa; Twierdzenie Gödla i filozofia; Czy twierdzenie Gödla jest sprzeczne z mechanicyzmem?

Wykop

Korzystanie z serwisu oznacza akceptację Regulaminu. Copyright – 1999-2017 INTERIA.PL , wszystkie prawa zastrzeżone.